La catenoide è una superficie minima di rotazione: l'unica superficie di questo tipo con curvatura di Gauss diversa da zero. La curva profilo si chiama catenaria. Nel modello rappresentato nella figura l'asse di rotazione è verticale
Si chiamano di rotazione le superfìci ottenute facendo ruotare una curva intorno ad un asse.
Sono superfici di rotazione le sfere, i cilindri, i coni.
Sono superfici di rotazione ad esempio le forme realizzate dal ceramista facendo ruotare al tornio da vasaio un profilo modellato con le mani nella creta, come in generale tutte le forme, di metallo, di legno o di altri materiali, realizzate ai torni industriali.
Il nome di catenoide attribuito alla superficie deriva dall'aver fatto ruotare una curva catenaria, dove i parametri A, B, A, prendono valori diversi che dipendono dalla posizione degli estremi e dalla lunghezza del filo.
Grafico di una catenaria
Si definisce catenaria la curva descritta da una catena sospesa ai due estremi.
Sono catenarie ad esempio le curve dei fili dell'alta tensione tra due tralicci.
Le catenoidi sono superfici di rotazione dedotte da catenarie particolari.
La catenoide ha, oltre alle proprietà che ne derivano dall'essere ottenuta per rotazione da una opportuna catenaria, l'importante proprietà di essere una superfìcie minima.
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Il titolo di superficie minima riassume per i matematici una grande ricchezza di proprietà metriche collegate alle aree. Cerchiamo di spiegare in modo intuitivo il concetto. Assegnata una curva chiusa nello spazio esistono infinite superfici che hanno tale curva come bordo: se disponessimo di un foglio di gomma perfettamente elastico e lo incollassimo alla curva assegnata potremmo poi, deformandolo per elasticità a nostro piacere, realizzare con esso un grande numero di tali superfici. Il foglio di gomma stesso del resto, se non sollecitato diversamente, si dispone secondo una posizione particolare che dipende dalla curva e che risulta di area più bassa tra tutte quelle che otterremmo premendo qua e là il foglio stesso. Tale superficie prende il nome di superficie minima corrispondente alla curva assegnata. Se la curva assegnata è una circonferenza la superficie minima corrispondente è il cerchio determinato dalla circonferenza stessa. Se la curva è una curva piana la superficie minima è la porzione di piano delimitata dalla curva. Se la curva assegnata non è piana la superficie minima da essa determinata non può essere piana ed è certamente difficile prevederne la forma. La superficie di Nepero è una superficie
minima, nel senso già illustrato per la catenoide.
Somiglia a una sella di cavallo: la testa a
destra, la coda a sinistra e il cavaliere sopra con una gamba dalla
parte nostra e l'altra dietro. Il cavaliere naturalmente a testa in giù
rivolto verso di noi con la gamba destra che sale sul lato destro
del foglio e gamba sinistra sul lato sinistro. |
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